1 слайд
2 слайд
3 слайд
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
4 слайд
Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров?
5 слайд
Лист Мёбиуса, лента Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.
6 слайд
Благодаря этой ленте возникло множество самых различных изобретений. А сколько было написано самых различных книг и фантастических произведений - не перечесть. Вот например сюжет рассказа А. Дейча “Лента Мёбиуса”. В одном городе находился огромных размеров метрополитен. И вот однажды случилось так, что пути подземки пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Стоит ли говорить, что поезда один за другим начали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев
7 слайд
Применение листа Мёбиуса в технике Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.
8 слайд
Конечно же главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.
9 слайд
Лентой Мебиуса закручен путь в какую сторону не иди… Обязательно увидишь еще того Кого однажды встретил на пути… Если нужно кого-то догнать не трать сил, времени на ускорение… Лучше просто подождать или двинуться в обратном направлении…
Районная конференция
«Старт в науку»
Номинация: МАТЕМАТИКА
Тема работы:
«Загадочная лента Мебиуса»
Ученица 7-а класса
Руководитель проекта Вакуленко Е.Ю.
Проблема:
Узнать, что такое «лист Мёбиуса» и как его можно использовать.
Гипотезы исследования:
Вероятно Мёбиус-это учёный.
А что если лист Мёбиуса растёт на дереве «Мёбиус»?
Скорей всего на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать
его на части.
Возможно, лист Мёбиуса применяется в технике и искусстве.
Цель:
Выяснить, что такое Мёбиус?
2.Познакомиться со свойствами листа Мёбиуса.
3. Выяснить, где применяется лист Мёбиуса.
4.Изучить опыты с листом Мёбиуса, которые описываются в математической литературе и провести эксперименты.
Официальный термин.
Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) - топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство.
Топология
В ходе исследования я узнала, что Мёбиуса считают основателем топологии.
Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому - «геометрия положения»).
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
Замечательные ученые
Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Листинг опубликовал свою работу, на три года раньше Мебиуса, но лента была названа именем второго
Мёбиус
Листинг
Свойства ленты
Односторонность Непрерывность Двусвязность Отсутствие ориентированности.
Односторонность
У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. ‘
Непрерывность
На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.
Двусвязность
Лист Мёбиуса конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Отсутствие ориентированности ориентированности
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.
Лента Мёбиуса в...
Спираль ДНК
Есть предположение, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код
так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура объясняет причину наступления биологической смерти
Спираль замыкается сама на себя
и происходит самоуничтожение.
В жизни.
Полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.
В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.
Лента Мёбиуса вдохновляющая многих художников своей таинственность. Она лежит в основе некоторых картин знаменитых художников
Опыт воссоздания ленты Мёбиуса интересен не только художникам, но и архитекторам и скульпторам
Маркетинг
Всем известный знак, тоже лента Мёбиуса. А вы об этом задумывались?
Фокусы
Фокусники полюбили ленту Мёбиуса, за свои удивительные свойства.
Эти фокусы точь-в-точь наши опыты, но они очень удивляли зрителей
Опыты
С лентой Мебиуса можно проводить множество экспериментов, чем мы собственно и займёмся
Суть опыта
Полученный результат
Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?
весь лист полностью окрашен
Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?
два отдельных обычных кольца
если лист Мёбиуса разрезать посередине
Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо.
Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?
получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено.
Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).
получим 3 кольца: I - лист Мёбиуса - 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.
Поставленной цели я достигла, так как я теперь знаю, что Мёбиус – это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки. Таким образом, получается, что верна первая гипотеза, а предположение что лист Мёбиуса растёт на дереве «Мёбиус» совершенно не верно. Ещё по ходу исследования я узнала, что наука топология – это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомилась со свойствами листа Мёбиуса. Предположение о применении листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) в технике и искусстве оказалось верным. Ленту Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека. Гипотеза о том, что на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части – верна частично. Ведь писать и рисовать удобнее в тетради и альбоме, а вот разрезая его на части можно проводить различные увлекательные эксперименты.
Заключение
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни: У математиков - идут дальнейшие исследований
У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса; учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой; В технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих…
«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования я узнала много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свои гипотезы, я читала книги, работала с различными источниками информации в сети Интернет, проводила эксперименты.
Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Очень надеюсь, что мой проект принесёт пользу и ученикам и учителям. Я провела ряд экспериментов с лентой, изучая её свойства, а так же узнала, где применяются эти свойства. В наше время актуально изучение различных свойств предметов и их нестандартных применений.
Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Мною была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.
Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса.
Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Также, по утверждению физиков, все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени. Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни:
- у математиков- идут дальнейшие исследования;
- у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
- у учителей - есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;
в технике - открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Как уже сказано выше, спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.
Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.
1. Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса. Невероятный проект библиотеки в городе Астана (Казахстан) имеет вид ленты Мебиуса..
2. А в 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях односторонние кристаллы в форме мёбиусной ленты.
3. Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.
4. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
5. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
6. Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
7. Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления", на который получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках, в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.
8. Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
9. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства.
- Международный символ переработки отходов представляет собой Лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.
В результате выполнения этого проекта я узнала много нового об известном учёном Мёбиусе и о его изобретениях. Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.
Просмотр содержимого документа
«Лента Мёбиуса или путь без начала и конца. »
Лента Мёбиуса
Над проектом работала
ученица 8 класса
МБОУ СОШ №10 п.Каменский
Сорокина Арина
Руководитель: Каленюк Н. В.
учитель математики
Над проектом работали:
учащиеся 8Г класса
Создатель Ленты Мёбиуса
А́вгуст Фе́рдинанд Мёбиус
( 17.11.1790-26.09.1868 )
немецкий математик
и астроном-теоретик.
Что такое лента Мёбиуса?
Лента Мебиуса – трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости .
Лента Мёбиуса, как модель Вселенной
Искусство и технология
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” установлен памятник
“ Ленте Мёбиуса”.
- Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ бесконечности стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса и знак бесконечности
- О, лента! Ты для нас урок!
- Магнитной ленты удлиняешь срок,
- Пружину делаешь рабочей впрок,
- И ремень передач, штурвал и принтер
- Используют твой всемогущий принцип.
- Однако если в путь по ленте устремиться,
- То впору будет тут и заблудиться,
- Поскольку в перемычке ленты той
- Уж вовсе нет материи живой.
- Вот так и смерть враз настигает нас.
- Когда судьбы окончится рассказ,
- Она по ленте Мёбиуса ускользает
- И нас с собой в дорогу забирает.
Бермудский треугольник тоже лента объясняет
- Куда же корабли там прытко исчезают.
Попав в портал меж разными мирами,
Они, увы, навеки расстаются с нами.
А астронавты, что по ленте той кочуют
И в космосе незваные ночуют,
Домой вернутся уж в обличии ином –
Зеркальном отражении своём.
- Лентой Мёбиуса закручен путь
- в какую сторону не иди…
- Обязательно увидишь еще того,
- Кого однажды встретил на пути…
- Если нужно кого-то догнать,
- не трать сил, времени на ускорение…
- Лучше просто подождать или
- двинуться в обратном направлении
Крутим, ?\?_?j?l?b?f , ?j?Z?a?j?_?a?Z?_?f Выполнила ученица 6 класса Карагандинской основной школы Рыжик Галина Задачи проекта: самостоятельно найти литературу о листе Мбиуса; экспериментальным путм выяснить свойства листа Мбиуса; показать необычность этой геометрической поверхности; убедить в том, что лента Мбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни; доказать актуальность выбранной мною темы. Изготовление листа Мбиуса Лист Мбиуса – один из объектов области математики под названием «топология», по - другому – «геометрия положений». Удивительные свойства листа Мбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не менее, имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Таинственный и знаменитый лист Мбиуса открыл в 1858 г. немецкий геометр Август Мбиус(1790 - 1868), ученик «короля математики» Гаусса. Директор Лейпцигской астрономической обсерва - тории, А.Мбиус был разносторонним учным. В те времена занятия математи - кой не встречали поддержки, а должность в обсерватории давала достаточно денег, чтобы не думать о них и оставляла время для размышлений. И Мбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Мёбиус Август Фердинанд В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие порази - тельной красоты. Он открыл односторонние поверхности, одна из которых – лист Мбиуса. Мбиус является одним из осно - вателей современной топологии. Эксперименты для всех вопрос гипотеза эксперимент Число перекручиваний 0. Что будет, если разрезать кольцо? Получим 2 кольца, которые уже в 2 раза Получили 2 кольца, которые уже в 2 раза Число перекручиваний 1. Что будет, если ЛМ разрезать вдоль посередине Получим 2 кольца Кольцо, перекрученное на 2 полуоборота, оно уже в 2 раза больше исходного На разных сторонах ЛМ сидят муха и паук. Может ли паук подкрасться к мухе, не переходя через край ленты? Да, сможет По не перекрученному кольцу нет, а по перекрученному - да Искусство и технология Международный символ переработки представляет собой Лист Мбиуса. Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса. Невероятный проект новой библиотеки в Астане, Казахстан. Лента Мбиуса в скульптуре представлена в различных вариантах: от традиционных до самых невероятных… Данная скульптура составлена из множества консервных банок Лист Мбиуса и шар Литография с муравьями принадлежит известному голландскому художнику Морису Эшеру Монумент у здания Президиума Национальной академии наук В Минске Памятник ленте Мбиуса в Москве В практике индийской йоги используется принцип движения энергетических потоков по траектории листа Мбиуса. Среди ювелирных изделий также встречается лента Мбиуса. Лист Мебиуса – символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары. Выводы о проделанной работе: прочитав определнную литературу, я познакомилась с геометрической поверхностью лентой Мбиуса; анализируя собранный материал, я увидела необычность этой ленты; экспериментальным путм я показала, что лист Мбиуса является односторонней поверхностью, что необычно для трхмерной фигуры; я провела восемь опытов с листом и доказала, что он изменяет свои свойства при разрезании; увидела, что усложнение эксперимента не приводит к более эффектным результатам; пыталась убедить, что лента Мбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни; считаю правильным, что лист Мбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям. Использованная литература. Ссылки литературы: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 %B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1% 91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81 %D0%B0%7C http://www.log - in.ru/articles/1360/%7C http://sola.narod.ru/top.htm%7C http://buckses.info/fizika/ Ссылки картинок: - http://lenta.ru/news/2009/06/29/mobius/ - http://www.ka - gold - jewelry.com/russian/p - products/mobius - ring - silver.php http://mosday.ru/photos/gallery.php?alt =11 &group=monument®ion=moscow_ham ovniki&rows=all&size=9
Предмет исследования: Частный вид развёртывающейся поверхности – лента Мёбиуса Цель исследования: Изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса. Найти, где используются ее свойства. Гипотеза: Все свойства ленты Мёбиуса не изучены. С помощью свойств можно объяснить многие явления в нашей жизни.
В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Я рассмотрела применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту. Мной была проделана работа по доказательству свойств ленты Мёбиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.
МЕБИУС Август Фердинанд (), немецкий математик. Труды по геометрии. Установил существование односторонних поверхностей (лист Мёбиуса).
Простейшая односторонняя поверхность, рассмотренная А. Мёбиусом; получается при склеивании двух противоположных сторон АВ и А " В " прямоугольника АВВ " А " так, что точки А и В совмещаются соответственно с точками В " и А ".
Лента Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на пол - оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом. Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ее вдоль, точно посередине - получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма « затейливое » переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине.
1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. 2. Непрерывность - с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. 3. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. 4. Связность - чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты
Лента Мебиуса используется во многих изобретениях. 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправив все законы направления, срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями.
Лист Мёбиуса служил вдохновлением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса - вот наглядный образец Того, что и конец - то - не конец Любого дела, а лишь новое начало с того, Что в деле первом окончание обозначало! Он говорит тому, кто хочет слышать, Что как ни трудно, всё же надо выжить, Отчаянье из сердца выжечь И выйти из очередной житейской передряги - Для бодрости хлебнув глоток из фляги, Взять да и минус поменять на плюс, Чтоб полной жизнью вновь забился пульс.
Мной была проделана работа по рассмотрению некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. Некоторые свойства ленты Мёбиуса могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.
Атанасян, Л. С, Гуревич, Г. Б. Геометрия. - Ч М: Просвещение, Квант: научно - популярный журнал, 7; 1977, 7. Смирнов, С. Г. Библиотека « Математическое просвещение ». - Вып М.: МЦНМО, Возможности сети « ИНТЕРНЕТ ».
