Описание видеоурока
Составим уравнение колебания шарика, нанизанного на гладкий горизонтальный стержень под действием силы упругости пружины. По второму закону Ньютона произведение массы тела на вектор ускорения есть равнодействующая всех сил, приложенных к телу. Сила, действующая на шарик, - это сила упругости растянутой или сжатой пружины. Её проекция по закону Гука равна произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Подставляем выражение для силы упругости во второй закон Ньютона, получаем: произведение массы шарика на его ускорение равно произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Разделим обе части уравнения на массу тела. Получаем, что проекция ускорения равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на смещение тела относительно положения равновесия. Так как масса тела и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение - также постоянная величина. Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости: проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.
Аналогичным образом можно получить уравнение движения математического маятника. Оно схоже по форме с уравнением, которое описывает колебания тела под действием силы упругости. Проекция ускорения математического маятника равна взятому с обратным знаком произведению отношения ускорения свободного падения к длине нити на смещение тела относительно положения равновесия. Так как ускорение свободного падения и длина нити — постоянные величины для данного маятника, то их отношение - также постоянная величина. Значит, проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком. Для двух рассмотренных колебательных систем справедливы одинаковые по форме уравнения движения: ускорение тела, совершающего колебания, прямо пропорционально смещению от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.
Из курса математики известно, что ускорение точки — это производная ее скорости по времени или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнения движения тела, совершающего колебательные движения под действием силы упругости, можно записать таким образом: вторая производная координаты тела по времени равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на координату тела. Вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают. Это значит, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Запишем это уравнение, используя функцию косинуса. Тогда оно примет следующий вид: координата колеблющегося под действием силы упругости тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения корня квадратного из отношения жесткости пружины к массе груза на время колебаний. Мы получили уравнение зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени.
На рисунке изображено изменение координаты точки со временем по закону косинуса. Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Существует ряд величин, характеризующих колебательное движение. Отклонение тела от положения равновесия называют смещением. Амплитудой гармонических колебаний называется максимальное расстояние, на которое тело отклоняется от положения равновесия. Амплитуда зависит от начальных условий колебаний. Время одного полного колебания называется периодом колебаний. Период колебаний измеряется в секундах. Частотой колебаний называется число колебаний за единицу времени. Единица частоты колебаний в интернациональной системе единиц - герц. 1Герц (Гц)- частота такого колебательного движения, при котором
колеблющееся тело совершает одно полное колебание за одну секунду.
Циклическая или круговая частота - величина, которая показывает, сколько колебаний тело совершает за 2π секунд. Единица циклической частоты - радиан в секунду. Выведенная из состояния равновесия колебательная система совершает свободные колебания с определенной частотой, поэтому её называют собственной частотой колебательной системы. Для пружинного маятника собственная частота колебаний определяется как корень квадратный из отношения жесткости пружины к массе груза. Собственная частота математического маятника равна корню квадратному из отношения ускорения свободного падения к длине маятника. Если подставить выражение для собственной частоты в формулу уравнения зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени, то это уравнение примет следующий вид: координата колеблющегося тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения циклической частоты системы на время колебаний.
Период свободных колебаний зависит от параметров самой системы. При колебаниях груза на пружине период зависит от жесткости пружины и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем меньше период колебаний; чем массивней груз, тем больше период колебаний. Для математического маятника период колебаний зависит только от длины нити: чем длиннее нить, тем больше период колебаний. От массы маятника он не зависит.
В уравнении, описывающем свободные колебания, под знаком косинуса находится произведение циклической частоты колебаний на время. Это произведение называют фазой колебаний. Выражается фаза в угловых единицах радианах. Фаза определяет значение координаты и других физических величин, например, скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. При совершении колебательных движений энергия системы переходит из одной формы в другую. Рассмотрим колебания шарика на пружине и предположим для простоты, что в колебательной системе отсутствуют силы трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние х максимальное, мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию, равную половине произведения жесткости пружины на квадрат расстояния от положения равновесия. Под действием силы упругости шарик начнет двигаться влево, при этом деформация пружины станет меньше, и потенциальная энергия системы уменьшится. Но одновременно увеличится скорость и, следовательно, возрастет кинетическая энергия. Когда шарик будет проходить точку равновесия, деформация пружины будет равна нулю, следовательно, потенциальная энергия колебательной системы станет равной нулю. Скорость шарика в этой точке максимальна, значит, кинетическая энергия достигает максимума. При дальнейшем движении скорость шарика будет уменьшаться, а деформация пружины будет увеличиваться. Кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Мы видим, что при колебаниях шарика на пружине периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы. Согласно закону сохранения механической энергии при отсутствии трения полная механическая энергия изолированной системы неизменна.
В реальных колебательных системах всегда действуют силы трения. Они совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Часть механической энергии системы расходуется на преодоление сил трения и переходит во внутреннюю энергию тел системы и окружающей среды. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. После того, как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Любые свободные колебания являются затухающими.
Механическими колебаниями называют движения тела, повторяющиеся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени. Основными характеристиками механических колебаний являются: смещение, амплитуда, частота, период. Смещение - это отклонение тела от положения равновесия. Амплитуда - модуль максимального отклонения от положения равновесия. Частота - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Период - время одного полного колебания, т. е. минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса. Период и частота связаны соотношением: v = 1/Т. Простейший вид колебательного движения - гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис. 9). Свободными называют колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Например, колебания груза на нити (рис. 10). Рассмотрим процесс превращения энергии на примере колебаний груза на нити (см. рис. 10). При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня, следовательно, в точке А маятник 
обладает потенциальной энергией mgh. При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия mgh превратится в кинетическую энергию mv^2/2. В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении от положения равновесия становится равной нулю. При колебательном движении всегда происходят периодические превращения его кинетической и потенциальной энергии.
При свободных механических колебаниях неизбежно происходит потеря энергии на преодоление сил сопротивления. Если колебания происходят под действием периодической внешней силы, то такие колебания называют вынужденными. Например, родители раскачивают ребенка на качелях, поршень движется в цилиндре двигателя автомобиля, колеблются нож электробритвы и игла швейной машины. Характер вынужденных колебаний зависит от характера действия внешней силы, от ее величины, направления, частоты действия и не зависит от размеров и свойств колеблющегося тела. Например, фундамент мотора, на котором он закреплен, совершает вынужденные колебания с частотой, определяемой только числом оборотов мотора, и не зависит от размеров фундамента.
При совпадении частоты внешней силы и частоты собственных колебаний тела амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Такое явление называют механическим резонансом. Графически зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты действия внешней силы показана на рисунке 11.
Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов, если собственные их частоты совпадают с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливают на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти «в ногу».
При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда в установившемся режиме резонанса определяется условием потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.
При изучении этой темы решают задачи по кинематике и динамике упругих колебаний. Полезно при этом сопоставление упругих колебаний с уже рассмотренными колебаниями маятника для выявления как их общих, так и специфических черт.
Решение задач требует применения второго закона Ньютона, закона Гука и формул кинематики гармонического колебательного движения.
Период упругих гармонических колебаний тела массой определяют по формуле (№ 758). Эта формула позволяет определить период различных гармонических колебаний, если известно значение Для упругих колебаний это коэффициент жесткости, а для колебаний математического маятника (№ 748).
В задачах о превращениях энергии в колебательном движении в основном рассматривают превращение кинетической энергии в потенциальную. Но для случая затухающих колебаний учитывают также превращение механической энергии во внутреннюю. Кинетическая энергия упругих колебаний
Потенциальная энергия
Будут ли отличаться и как колебания тел разной массы на одной и той же пружине? Ответ проверьте на опыте.
Ответ. Тело большей массы будет иметь больший период колебаний. Из формулы следует, что при одной и той же силе упругости тело большей массы будет иметь меньшее ускорение и, следовательно, будет двигаться медленнее. Это можно проверить, приводя в колебание подвешенные на динамометре грузы разной массы.
757(э). На пружину подвесили груз и затем поддерживали его так, чтобы пружина не растягивалась. Опишите, как будет двигаться груз, если убрать поддерживающую его опору. Ответ проверьте на опыте.
Решение, Отпустим груз свободно падать вниз. Тогда он растянет пружину на величину которую можно определить из соотношения
По закону сохранения энергии при обратном движении вверх груз поднимается на высоту будет совершать колебания с амплитудой h. Если же груз подвесить на пружине, он растянет ее на величину
Следовательно, положение, в котором висит груз в состоянии покоя, является центром, около которого совершаются колебания. Этот вывод легко проверить на «мягкой» длинной пружине, например от прибора «ведерко Архимеда».
758. Тело массой под действием пружины, имеющей жесткость совершает без трения колебания в горизонтальной плоскости вдоль стержня а (рис. 238). Определите период колебания тела, используя закон сохранения энергии.
Решение. В крайнем положении вся энергия тела потенциальная, а в среднем - кинетическая. По закону сохранения энергии
Для положения равновесия Следовательно,
759(э). Определите коэффициент жесткости резиновой нити и рассчитайте период колебания подвешенной на ней гири массой . Ответ проверьте на опыте.
Решение. Для ответа на воррос задачи учащиеся должен иметь резиновую нить, грузик массой 100 в, линейку и секундомер
Подвесив груз на нить, сначала рассчитывают величину численно равную силе, которая растягивает нить на единицу длины. В одном из опытов были получены следующие данные. Начальная длина нити см, конечная Откуда см
Измерив по секундомеру время 10-20 полных колебаний груза, убеждаются, что период, найденный расчетами, совпадает с полученным из опыта.
760. Используя решение задач 757 и 758, определите период колебаний вагона на рессорах, если его статическая осадка равна
Решение.
Следовательно,
Мы получили интересную формулу, по которой легко определить период упругих колебаний тела, зная только величину
761 (э). Используя формулу рассчитайте, а затем проверьте на опыте период колебаний на пружине от «ведерка Архимеда» грузов массой 100, 300, 400 г.
762. Пользуясь формулой получите формулу периода колебаний математического маятника.
Решение. Для математического маятника поэтому
763. Используя условие и решение задачи 758, найдите закон, по которому изменяется сила упругости пружины, и запишите уравнения данного гармонического колебательного движения, если в крайнем положении тело обладало энергией
Решение.
Примем, что Амплитуду колебаний А определим из формулы
Аналогично подставив значение массы, амплитуды и периода в общие формулы смещения, скорости и ускорения, получим:
Формулу ускорения можно было такжеполучить, пользуясь формулои силы
764. Математический маятник, имеющий массу и длину отклонили на 5 см. Какую скорость ускорение а и потенциальную энергию он будет иметь на расстоянии см от положения равновесия?
Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального (F тр =0) горизонтального пружинного маятника. Выводя тело из положения равновесия, например сжимая пружину на х=А, мы сообщаем ему некоторый запас потенциальной энергии \(~W_{n_{0}} = \frac{kA^2}{2}\) (горизонтальный уровень, на котором находится маятник, выбираем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии маятника в поле силы тяжести, тогда W п = 0). При движении тела к положению равновесия его потенциальная энергия \(W_n = \frac{kx^2}{2}\) убывает, а кинетическая \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2}\) возрастает, так как деформация пружины уменьшается, а скорость движения тела увеличивается. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая \(W_{k_{0}}=\frac{m \upsilon^2_max}{2}\) - максимальна. После прохождения положения равновесия скорость тела уменьшается, а пружина растягивается. Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная - возрастает. В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная - максимальна. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий \(W = W_k + W_n.\)
Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону \(~x = A \cos \omega t,\) то проекция скорости на ось х \(~\upsilon_x = -\omega A \sin \omega t\) (см. § 13.2). Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2} = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1- \cos 2 \omega t),\) а потенциальная энергия - функцией \(W_n = \frac{k x^2}{2} = \frac{ k A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1+ \cos 2 \omega t) ,\) так как \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), то \(~k = m \omega^2.\)
Полная энергия \(W = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} + \frac{m \omega^2 A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2} = \frac{kA^2}{2}.\)
Из этих формул видно, что W к и W п изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой \(\frac{m \omega^2 A^2}{4}\) и в противофазе друг с другом и с частотой \(~2 \omega\) (рис. 13.13), а полная механическая энергия не изменяется со временем. Она равна либо потенциальной энергии тела в момент максимального отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия:
\(W = \frac{kA^2}{2} = \frac{m \upsilon^2_m}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2}.\)
В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, т.е. их амплитуда уменьшается до нуля (рис. 13.14).
>> Превращение энергии при гармонических колебаниях
§24 ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ
Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях в двух случаях: в системе нет трения; в системе есть трение.
Превращения энергии в системах без трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3), вправо на расстояние х m , мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:
При движении шарика влево деформация пружины становится меньше, и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, возрастает кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия колебательной системы становится равной нулю (W n = 0 при х = 0). Кинетическая же энергия достигает максимума.
После прохождения положения равновесия скорость шарика начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия системы снова увеличивается. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Нетрудно проследить за тем, что такие же превращения механической энергии из одного ее вида в другой происходят и в случае математического маятника.
Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:
Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости (см. формулу (3.26)).
Затухающие колебания. Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело.
Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими.
График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 3.10. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник .
На рисунке 3.11 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости своей координаты от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий достаточно полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, го затухание станет значительным.
В автомобилях применяются специальные для гашения колебаний кузова при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний.
Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется неизменной.
Если на тела системы действуют силы сопротивления, то колебания являются затухающими.
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки