→ Заполняем пустое пространство. Почеркушки и путанки.
Прошлый раз я рассказывала про раскраски для взрослых, тема этого блога – заполнение пустого пространства листа и такие методики (техники) рисования как Зентангл, Дудлинг и их разновидности.
Первая техника Зентангл. Во-первых, определимся что же такое Зентангл. Зентангл – это зарегистрированное (или запатентованное как бренд) понятие, обозначающее методику медитативного рисования. Методика создана более десяти лет назад американцами художником-шрифтовиком Марией Томас и Риком Робертсом, которое долгое время был монахом. В словаре нет как такового определения этого слова. Но оно состоит из двух частей – «зен» и «тангл». «Зен» - это «дзен» (как «дзен-буддизм») – полная форма просветления. А «тангл» - переводиться как «сплетение», «спутанный клубок», «беспорядок». Получается, что Зентангл – это абстрактный рисунок, создающийся на основе повторяющихся узоров. При этом человек при рисовании достигает максимального расслабления схожего с медитацией. Еще Зентангл называют дзен-графикой или медитативным рисованием. Собственно Зентангл – это прежде всего погружение в сам процесс рисования. Концентрация на каждой линии. Рисунок – одновременно и спланированный и стихийный. Спланированный потому, что используются особые узоры-танглы (танглами называют как отдельные узоры, так и готовые рисунки), рисуемые пошагово по известной схеме, состоящие из ограниченного количества элементов. Спонтанный – потому, что комбинация танглов и конкретное исполнение заранее не планируется. Вообщем главное в Зентангле это то, что процесс важнее результата.
Если Вам хочется узнать Зентангле, то опять советую совершенно уникальный сайт Риты Николаевой: http://dotslinespatterns.com/category/zentangle-%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B1%D0%B5%D0%B7/
И вот этот замечательный сайт. Информация очень обширна и подробна: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C-%D0%97%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB
Наша вторая техника – Дудлинг (или Зендудлинг). Или Дудл. В отличие от Зентангла это бессознательный рисунок, незапланированный и стихийно развивающийся. Дудлинг возникает тогда, когда мы концентрируемся на чем-то другом, обычно связанным со слушаньем. Рисунок состоит из простых элементов - кружочков, закорючек, ромбиков, точечек, палочек и прочих. Однако из этих простых элементов могут складываться сложнейшие композиции, поражающие воображение. Они могут мыть каляками-маляками, а могут быть и весьма сложными и художественно наполненными.
У Дудлинга есть два положительных момента:
- Дудлинг как бессознательный рисунок, позволяющий «отключить мозг», что открывает дорогу чистому творчеству, не скованному правилами.
- Дудлинг парадоксальным образом не отвлекает, а помогает удерживать внимание рисующего.
Есть даже целое направление, основанное на Дудлинге – это арт-буки, но о них я расскажу в следующий раз.
Третья техника – это Зенарт (или ZIA) – Зенартом считается любое отступление от правил рисования – рисование цветными фломастерами, или раскрашивание рисунка цветом или использование бумаги большого формата или плотности, альбома например. Также Зенартом считается, если нарисовать танглами что-то конкретное: розу, ежика, сову. Или же рисовать вообще не на бумаге оформление стен или же тканевой сумки.
При оформлении интерьера окна часто остаются без внимания, максимум, на них меняют шторы или делают замену самих окон. А ведь пространство около них тоже можно использовать максимально практично. Тут действительно есть, где разгуляться, спектр идей настолько велик, что остановиться на чём-то одном мы не смогли и решили предложить сразу 25 чудесных идей для преображения вашего интерьера.
Идеи для детской комнаты
«Пространство около окна в детской комнате.
Пространство около окна в детской комнате.
Систем хранения в детской не бывает много, игрушки заполняют всё пространство и их количество только увеличивается. Если вы не знаете, куда уже их складывать, то этот пункт для вас. Сделайте открытые или закрытые шкафчики вокруг окна, на нём пускай будет мягкий уголок для малыша, а под подоконником – скрытые системы хранения. Такой комплекс смотрится стильно и обязательно понравится ребёнку. 
Аккуратное хранение в детской комнате.Хранение домашней библиотеки
Домашняя библиотека.
Бумажные книги занимают немало места в любом интерьере и, обычно, их количество не уменьшается, а только увеличивается. И книгоманы начинают ломать головы, куда складывать любимую литературу, где найти место для домашней библиотеки. Тут-то пространство у окна придётся как раз кстати. Вы можете задействовать верхнюю часть под потолком или организовать хранение книг под подоконником, а если в комнате два окна, то займите всё расстояние между ними и сделайте из него импровизированный книжный шкаф. Ещё одна идея – сделать открытые полки по обе стороны от окна и сложить на них книги. 
Аккуратное хранение книг.
Хранение книг под подоконником.
Стильное хранение книг в квартире.
Хранение книг между двумя окнами.
Стильное хранение домашней библиотеки.
Уголок для чтения
Уютное местечко для чтения.
Раз уж речь зашла о книгах то нельзя обойти стороной оформление уголка для чтения. Окно для этих целей подходит идеально. Используйте для этого мягкие напольные подушки, они будут служить в роли сидения, а под спину пойдут и их декоративные собратья. Создайте свой уютный уголок, где будет приятно проводить время в выходной день. На случай, если зачитаетесь и на улице стемнеет, позаботьтесь о том, чтобы неподалёку находился дополнительный источник искусственного освещения. 
Место для чтения у окна.
Место для отдыха
Стильное местечко для отдыха.
Когда из окна открывается прекрасный вид, то просто грех не сделать на подоконнике место для отдыха и созерцания. Пускай тут преобладает спокойная цветовая гамма, сидение обязательно оборудуйте мягкое, не забудьте украсить местечко несколькими декоративными подушками, положите поблизости плед. Такая интерьерная композиция будет радовать глаз и наполнит комнату особой атмосферой. К тому же, после напряжённого рабочего дня вы всегда сможете расслабиться и получить эстетическое удовольствие.
Место для отдыха.
Самое уютное местечко в доме.
Красивый уголок для отдыха.
Аккуратно и стильно.
Домашний офис
Домашний офис у окна.
Удачное решение – организовать у окна рабочую зону. Подоконник используйте, как столешницу или поставьте у него приставной столик, сделайте удобные полки для хранения бумаг и канцелярских принадлежностей. Не забудьте подобрать стул комфортной высоты и не вешайте на окно штор, они будут препятствовать проникновению естественного света в комнату.
Зона столовой
Зона столовой у окна.
Когда стаёт вопрос о поиске места для столовой зоны, обратите свой взор на окно и пространство около него, особенно, если рядом с ним есть свободный угол. Тут отлично разместится угловой уголок или несколько удобных стульев/кресел. Выбирайте для этой зоны лаконичную и предельно простую мебель светлых оттенков. Так столовая будет казаться более уютной. 
Угловая столовая у окна.
Уютная мини-столовая.
Окно на кухне
Практичное использование окна на кухне.
Окно на кухне – находка для хозяйки, мало того, что подоконник можно использовать в роли рабочей зоны, так ещё и задействовать пространство у окна. Организуйте открытые полки и поставьте туда посуду, кастрюли, крупы и специи в банках.
В ванной комнате
Хранение на окне в ванной.
Если в ванной комнате имеется окно – это большая удача. Используйте его по максимуму, например, храните здесь чистые банные полотенца. А если сделать несколько полок, то с лёгкостью сможете расположить тут средства личной гигиены или туалетную бумагу.
В гардеробной комнате
Использование пространства около окна в гардеробной комнате.
Окно в гардеробной тоже можно применить с пользой. Расположите по обеимего сторонам удобные открытые ниши, туда поставьте любимые сумки или туфли, которые всегда должны быть в минутной доступности. Не забывайте периодически протирать их от пыли, чтобы они не потеряли презентабельный вид.
Системы хранения в спальне
Системы хранения в спальне.
В спальне также пригодятся открытые системы хранения. Здесь удобно хранить домашнюю одежду, постельное бельё, полотенца, предметы личной гигиены, книги. Для аккуратного хранения используйте вспомогательные аксессуары – коробы, пластиковые боксы, плетёные корзины.
Для эстетического удовольствия
Пространство около окна можно использовать не только в практичных целях, но и сделать из него некий стенд для экспозиции красивого декора. Это могут быть сувениры, привезённые из путешествий, коллекция фарфоровых фигурок, фарфор, вазы и всё, что радует глаз. Главное, не перегружайте полки, оставьте немного свободного пространства для эффекта воздушного интерьера. 
От автора: в веб-дизайне к пустому пространству относят области без текста и изображений. Можно сказать, что это «визуальная тишина». Чтобы наш дизайн функционировал, необходимо правильно сочетать пустое пространство с используемым.
Прежде чем начать, посмотрите видео ниже. Роуэн Аткинсон: добро пожаловать в ад:
Что вы заметили? Конечно, невероятное остроумие Роуэна. Но заметили ли вы, как он использует тишину, чтобы заставить людей смеяться? Этот прием называется комический выбор времени, один из важнейших навыков, которым должен обладать успешный комик.
Представьте выступление Роуэна Аткинсона без этих пауз. Не очень смешно, потому что именно тишина делает шутку смешной. У этой тишины очень важная задача.
То же самое можно сказать и про музыку. Хотя там это может быть лишь затишье перед резким нарастанием ритма, а не полная тишина.
Заметили, как в примере выше «падает» бит на 0,45 и 1,29? Тишина придает драматизма будущим событиям. Я взял танцевальный трек, но с легкостью мог взять пятую симфонию Бетховена.
В обоих примерах тишина – критический фактор привлечения внимания. Точно так же работает пустое пространство. В веб-дизайне к пустому пространству относят области без текста и изображений. Можно сказать, что это «визуальная тишина». Чтобы наш дизайн функционировал, необходимо правильно сочетать пустое пространство с используемым.
Хотя Google не всегда славились своими дизайнерскими навыками, они всегда были сторонниками пустого пространства, что заметно по их домашней странице. Google запустили свой редизайн, когда страницы их конкурентов типа Yahoo! были плотно упакованы прогнозами погоды, новостями и почтой. Интерфейс без излишеств позволил пользователям сосредоточить внимание на основной задаче – поиске в интернете, не отвлекаясь на то, что им не нужно.
Трудно по-настоящему оценить, насколько радикальны были решения в дизайне за последние 20 лет, но мы знаем на кого смотреть в этом плане.
Два типа пустого пространства
Активное пустое пространство: пространство между элементами дизайна, часто используемое для постановки визуального ударения и структурирования. Это ассиметричный тип пространства, делающий дизайн более динамичным и активным.
Пассивное пустое пространство: пространство между словами в строке или пространство вокруг логотипа и других графических элементов.
Взгляните на домашнюю страницу 500px, как на ней используется активное и пассивное пустое пространство.
При работе с пространством мы в основном смотрим на активное пустое пространство, однако пассивному пространству также нужно уделять достаточно много внимания и тому, как оно работает с дизайном.
Два размера пустого пространства
Пустое микропространство: данный термин относится к небольшим площадям пустого пространства между буквами и словами, а также между несколькими графическими элементами. Правильная настройка пустого микропространства задает общий тон для всего дизайна, не меняя его главного компонента. Что-то похожее на ритм в танцевальных песнях. Песня та же, но какая-то сонная.
На скриншоте выше показано пустое микропространство между кнопками Log In и Sign up, а также между заголовком и параграфом.
Пустое макропространство: данный термин описывает большие объемы пустого пространства. Например, пространство между колонками или параграфами. Оптимизация макропространства зачастую может кардинально изменить ваш дизайн, потенциально улучшив поток внимания и ритм на веб-странице.
В дизайне Tumblr пустое макропространство четко прослеживается в пустом футере и боках.
Пустое пространство белого цвета?
Термин пустое пространство подразумевает отсутствие цвета или тона, что может сбить с толку. Пустое пространство, на самом деле, может быть любого цвета, который отвечает в вашем дизайне за пустоту – желтый, синий, зеленый или даже текстура (как в примере Todoist ниже).
Ваш выбор цвета не имеет никакого значения, однако не стоит забывать, что на цвета и текстуры куда приятнее смотреть, чем на суровый белый. Принцип сохраняется, даже если вы выберите другой цвет или текстуру.
Где и как использовать пустое пространство
Пустое пространство и элементы призыва к действию (CTA)
Всегда представляйте, что пользователь не знает, куда двигаться дальше, и правильно проектируйте пустое пространство. Идея проста – если рядом с кнопкой на странице ничего нет, значит, на нее необходимо нажать. И наоборот, если страница забита элементами, пользователь даже не заметит эту кнопку из-за беспорядка.
Современные тенденции и подходы в веб-разработке
Узнайте алгоритм быстрого роста с нуля в сайтостроении
Как видно по изображению выше, второй CTA элемент намного привлекательнее, чем первый, так как он не захламлен другими элементами.
Использование пустого пространства для эмоционального отклика
Существует множество способов вызвать эмоции в дизайне, среди которых шрифты, цвет и изображения. Все эти способы помогают добавить драматизма, однако пустое пространство является самым сильным компонентом и менее затратным. Некоторые называют это хорошим вложением средств.
На скриншоте выше видно, как Todoist использует пустое пространство вокруг заголовка, заставляя фоновое изображение сиять и передавать положительные эмоции. Также они взяли изображение со счастливым парнем, а не приложением, что тоже большой плюс.
Как побороть желание заполнить пустоты
Как дизайнеры и просто люди, у нас есть природное желание заполнить пустое пространство. Когда мы покупаем большой шкаф, гараж или дом, заполнить это новое пространство у нас не занимает много времени.
Эта привычка часто переходит и на дизайн. Стоит нам только заметить пустую область в нашем дизайне, мы начинаем думать «Чем бы его заполнить?». Такое мышление может вызвать проблемы у дизайнеров.
Не заполняйте свой дизайн элементами, попробуйте разместить одну CTA кнопку в центре и создать вокруг нее «безопасную зону» (пустое пространство). Помните, что пустое пространство не бесполезное пространство.
Кто хорошо использует пустое пространство?
За всю свою историю Volkswagen был мастером применения пустого пространства в рекламе в журналах. С самого начала их простые, но динамичные макеты выделялись среди статичной журнальной рекламы.
Макропространство четко прослеживается над и под автомобилем, что ставит авто в центр внимания. Несимметричность пустого пространства заставляет нас пройтись глазами по автомобилю, вниз к тексту и обратно наверх. Глаза не стоят на месте. Что если мы немного обрежем рекламу VW?
автомобиль кажется менее впечатляющим;
взгляд уже не так легко порхает над макетом;
сложнее преподнести историю с упавшим в обморок мужчиной.
Как видно на изображениях внизу, с 1960-х до сегодняшнего дня Volkswagen использовал пустое пространство для достижения большего эффекта.
По сравнению с Volkswagen компания Apple новичок, но уже показала себя ярым приверженцем дизайна с пустым пространством – от их сайта, изделий и до знаменитого дизайна и архитектуры Apple store.
Заключение
Мы узнали, что пустое пространство не белое, а также что это то место в дизайне, где ничего не происходит. Крайне важный принцип в дизайне, про который нельзя забывать дизайнерам. Именно пустое пространство решает, можно ли работать со страницей или нет, а также нужно ли придать какому-то элементу дополнительное внимания.
Мы узнали, что пустое пространство бывает двух типов (активное и пассивное) и двух размеров (микро и макро). Мы рассмотрели пример эквивалента пустого пространства в комедии (комичный выбор времени), как он заставляет людей смеяться, а также изучили пример пустого пространства в музыке.
Наконец, как дизайнер хочу добавить «чем меньше, тем больше». От этого и отталкивайтесь в своей работе. Пустое пространство может сделать дизайн лучше, а может сломать его. Надеюсь, эти идеи помогут вам в вашем следующем дизайне.
При оформлении интерьера окна часто остаются без внимания, максимум, на них меняют шторы или делают замену самих окон.
А ведь пространство около них тоже можно использовать максимально практично.
Тут действительно есть, где разгуляться, спектр идей настолько велик, что остановиться на чём-то одном мы не смогли и решили предложить сразу 25 чудесных идей для преображения вашего интерьера.
Идеи для детской комнаты
«Пространство около окна в детской комнате.
Пространство около окна в детской комнате.
Систем хранения в детской не бывает много, игрушки заполняют всё пространство и их количество только увеличивается. Если вы не знаете, куда уже их складывать, то этот пункт для вас. Сделайте открытые или закрытые шкафчики вокруг окна, на нём пускай будет мягкий уголок для малыша, а под подоконником – скрытые системы хранения. Такой комплекс смотрится стильно и обязательно понравится ребёнку.
Аккуратное хранение в детской комнате.Хранение домашней библиотеки
Домашняя библиотека.
Бумажные книги занимают немало места в любом интерьере и, обычно, их количество не уменьшается, а только увеличивается. И книгоманы начинают ломать головы, куда складывать любимую литературу, где найти место для домашней библиотеки. Тут-то пространство у окна придётся как раз кстати. Вы можете задействовать верхнюю часть под потолком или организовать хранение книг под подоконником, а если в комнате два окна, то займите всё расстояние между ними и сделайте из него импровизированный книжный шкаф. Ещё одна идея – сделать открытые полки по обе стороны от окна и сложить на них книги.
Аккуратное хранение книг.
Хранение книг под подоконником.
Стильное хранение книг в квартире.
Хранение книг между двумя окнами.
Стильное хранение домашней библиотеки.
Уголок для чтения
Уютное местечко для чтения.
Раз уж речь зашла о книгах то нельзя обойти стороной оформление уголка для чтения. Окно для этих целей подходит идеально. Используйте для этого мягкие напольные подушки, они будут служить в роли сидения, а под спину пойдут и их декоративные собратья. Создайте свой уютный уголок, где будет приятно проводить время в выходной день. На случай, если зачитаетесь и на улице стемнеет, позаботьтесь о том, чтобы неподалёку находился дополнительный источник искусственного освещения.
Место для чтения у окна.
Место для отдыха
Стильное местечко для отдыха.
Когда из окна открывается прекрасный вид, то просто грех не сделать на подоконнике место для отдыха и созерцания. Пускай тут преобладает спокойная цветовая гамма, сидение обязательно оборудуйте мягкое, не забудьте украсить местечко несколькими декоративными подушками, положите поблизости плед. Такая интерьерная композиция будет радовать глаз и наполнит комнату особой атмосферой. К тому же, после напряжённого рабочего дня вы всегда сможете расслабиться и получить эстетическое удовольствие.
Место для отдыха.
Самое уютное местечко в доме.
Красивый уголок для отдыха.
Аккуратно и стильно.
Домашний офис
Домашний офис у окна.
Удачное решение – организовать у окна рабочую зону. Подоконник используйте, как столешницу или поставьте у него приставной столик, сделайте удобные полки для хранения бумаг и канцелярских принадлежностей. Не забудьте подобрать стул комфортной высоты и не вешайте на окно штор, они будут препятствовать проникновению естественного света в комнату.
Зона столовой
Зона столовой у окна.
Когда стаёт вопрос о поиске места для столовой зоны, обратите свой взор на окно и пространство около него, особенно, если рядом с ним есть свободный угол. Тут отлично разместится угловой уголок или несколько удобных стульев/кресел. Выбирайте для этой зоны лаконичную и предельно простую мебель светлых оттенков. Так столовая будет казаться более уютной.
Угловая столовая у окна.
Уютная мини-столовая.
Окно на кухне
Практичное использование окна на кухне.
Окно на кухне – находка для хозяйки, мало того, что подоконник можно использовать в роли рабочей зоны, так ещё и задействовать пространство у окна. Организуйте открытые полки и поставьте туда посуду, кастрюли, крупы и специи в банках.
В ванной комнате
Хранение на окне в ванной.
Если в ванной комнате имеется окно – это большая удача. Используйте его по максимуму, например, храните здесь чистые банные полотенца. А если сделать несколько полок, то с лёгкостью сможете расположить тут средства личной гигиены или туалетную бумагу.
В гардеробной комнате
Использование пространства около окна в гардеробной комнате.
Окно в гардеробной тоже можно применить с пользой. Расположите по обеимего сторонам удобные открытые ниши, туда поставьте любимые сумки или туфли, которые всегда должны быть в минутной доступности. Не забывайте периодически протирать их от пыли, чтобы они не потеряли презентабельный вид.
Системы хранения в спальне
Системы хранения в спальне.
В спальне также пригодятся открытые системы хранения. Здесь удобно хранить домашнюю одежду, постельное бельё, полотенца, предметы личной гигиены, книги. Для аккуратного хранения используйте вспомогательные аксессуары – коробы, пластиковые боксы, плетёные корзины.
Для эстетического удовольствия
Пространство около окна можно использовать не только в практичных целях, но и сделать из него некий стенд для экспозиции красивого декора. Это могут быть сувениры, привезённые из путешествий, коллекция фарфоровых фигурок, фарфор, вазы и всё, что радует глаз. Главное, не перегружайте полки, оставьте немного свободного пространства для эффекта воздушного интерьера.
Стенды для декора.
Со времён древних греков известно пять платоновых тел - правильных многогранников, отличающихся высшей степенью симметрии. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, они изображены на рис. 1.
Легко заполнить одинаковыми кубами всё пространство без пустот и наложений так, чтобы любые два граничащих друг с другом куба пересекались либо по вершине, либо по ребру, либо по грани (рис. 2).
Задача
а) Докажите , что другие платоновы тела такого заполнения пространства не допускают.
б) Придумайте , как заполнить пространство, если можно использовать различные платоновы тела.
Подсказка 1
Предположим, имеется некоторое заполнение пространства платоновыми телами (не обязательно одинаковыми). Рассмотрим ребро одного из них. Тогда сумма двугранных углов многогранников, примыкающих к этому ребру, составляет 360°.
Подсказка 2
Покажите, что двугранные углы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра равны , , 
и соответственно.
Подсказка 3
Покажите, что пространство можно заполнить тетраэдрами и октаэдрами.
Решение
Рассмотрим сначала заполнение пространства кубами, чтобы понять, каким образом оно получается. Пусть AB - ребро одного из кубов (рис. 3.). Тогда оно является ребром ещё трёх кубов. Чтобы пространство было заполнено без пустот, сумма двугранных углов, ребром которых является AB , должна составлять 2π . Так как двугранный угол куба равен π /2, то сумма четырёх таких углов - в точности то, что нам нужно.
Таким образом, для того чтобы каким-либо платоновым телом можно было замостить пространство указанным в условии задачи способом, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n , где n - некоторое натуральное число, большее двух.
Теперь найдём двугранные углы всех остальных платоновых тел. Убедившись в том, что ни один из них не может быть представлен в виде 2π /n , мы докажем пункт а). Начнём с тетраэдра.
Будем считать, что все стороны тетраэдра ABCD
равны 1. Пусть M
- середина стороны BC
, DH
- высота (рис. 4). Тогда точка H является центром грани ABC
, а значит, лежит на отрезке AM
и делит его в отношении 2: 1, считая от точки A
. Учитывая, что AM
= DM
, отсюда следует, что cos
. То есть двугранный угол тетраэдра равен .
Далее рассмотрим октаэдр ABCDEF
(рис. 5). Как и в случае тетраэдра, мы будем считать, что длина каждой стороны октаэдра равна 1. Пусть M - середина стороны BF
, AH
- перпендикуляр, опущенный на плоскость BCF
из точки A
, H
1 и H
2 - центры граней BCF
и ADE
соответственно. Тогда AM
= CM
, AHH
1 H
2 - прямоугольник, а 
. Кроме того, 
. Следовательно, 
и . Таким образом, двугранный угол октаэдра равен .
Прежде чем перейти к икосаэдру и додекаэдру, нам стоит поближе познакомиться с правильным пятиугольником. Пусть в правильном пятиугольнике PQRST диагонали PS и QT пересекаются в точке K (рис. 6). Так как каждый угол правильного пятиугольника равен 3π /5, то углы при основаниях равнобедренных треугольников PST и QTP равны π /5. Значит, углы при основаниях равнобедренных треугольников KPQ и KTS равны 2π /5; в частности, это означает, что любая диагональ правильного пятиугольника делит его на равнобедренный треугольник и трапецию.
Проведём в треугольнике KPQ биссектрису PM . Тогда легко видеть, что KPM = π /5 и PKM = PMK = 2π /5 . Отсюда мы заключаем, что равнобедренные треугольники KTS и KPM подобны. Этот факт позволяет нам выразить все элементы пятиугольника PQRST через длину его стороны.
Действительно, будем считать для простоты, что PQ = 1. Тогда ST = KQ = 1. Обозначим KT через x . Тогда PK = PM = MQ = x , KM = 1 – x . Следовательно, . Преобразовывая это равенство, мы получаем соотношение x 2 + x – 1 = 0, откуда находим .
Теперь легко найти разные элементы. Так, для нас будет иметь значение, что длина диагонали правильного пятиугольника со стороной 1 есть 
. Другой важный момент - значения тригонометрических функций в точках π
/5 и 2π
/5. Например,
Кроме того, 
- это сторона правильного пятиугольника, который высекается, если мы проведём в пятиугольнике PQRST
все диагонали.
Перейдём, наконец, к икосаэдру. Для того чтобы найти его двугранный угол, нам достаточно будет рассмотреть «шапочку» икосаэдра - правильную пятиугольную пирамиду ABCDEF
. Пусть M
- середина стороны AC
(рис. 7). Тогда считая, что все стороны пирамиды равны 1, легко получаем 
, 
. Согласно теореме косинусов, BD
2 = BM
2 + DM
2 – 2 · BM
· DM
· cosBMD
. Значит,
Таким образом, двугранный угол икосаэдра равен .
Перейдём к додекаэдру. Как со всеми остальными платоновыми телами, будем считать, что длина каждого его ребра равна 1. Введём обозначения так, как указано на рис. 8. Пусть M - середина стороны BC . Тогда искомый угол EMG можно найти, применив теорему косинусов для равнобедренного треугольника EMG . Осталось найти стороны этого треугольника.
Боковые стороны треугольника EMG отыскать несложно. Действительно,
Для того чтобы найти EG , рассмотрим сечение додекаэдра плоскостью DEG (рис. 9). Эта плоскость высекает из додекаэдра шестиугольник DEKLGH , у которого DE = KL = GH = 1 и HD = EK = GL = (как диагональ правильного пятиугольника со стороной 1). Из соображений симметрии ясно, что шестиугольник DEKLGH вписан в окружность, причём DEG = EGH = KHG = π /3 . Отсюда вытекает, что прямые DE и HK параллельны, а треугольник HGI , где I - точка пересечения EG и KH , равносторонний. Значит, GI = GH = 1, а EI = DH = . Таким образом, получаем EG = GI + EI = .
Вернёмся к двугранному углу додекаэдра. Как следует из теоремы косинусов для треугольника EMG , EG 2 = EM 2 + GM 2 – 2 · EM · GM · cosEMG . Значит,
Таким образом, двугранный угол додекаэдра равен .
Теперь мы можем заняться анализом полученных результатов. Как мы уже говорили в самом начале, для того, чтобы копиями некоторого платонова тела можно было заполнить всё пространство без остатка, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n . Значения косинусов углов такого вида, соответствующие значениям n = 2, 3, 4, 5, 6, таковы:
Поскольку на промежутке функция cos x монотонно убывает, то для сравнения углов достаточно сравнить между собой значения их косинусов. Сделаем это.
Двугранный угол тетраэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: < 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.
Двугранный угол октаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.
Двугранный угол икосаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1 < –√5/3 < –1/2. Значит, 2π
/2 > > 2π
/3.
Двугранный угол додекаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.
Таким образом, двугранные углы ни одного платонова тела, кроме куба, не являются углами вида 2π /n . Пункт а) доказан.
Перейдём к пункту б) задачи. Рассмотрим равные октаэдры ABCDEF и PQRCBS , у которых ребро BC общее. Тогда если рёбра BC , DE и QR лежат в одной плоскости, то расстояние между вершинами A и P равно расстоянию между центрами октаэдров (рис. 10). Однако последнее равно длине ребра октаэдра. Значит, в тетраэдре ABCP все стороны равны, и он - правильный.
Это соображение позволяет требуемым образом заполнить пространство тетраэдрами и октаэдрами. Сначала мы складываем из них четырёхгранную трубу (рис. 11). Эта труба в сечении даёт ромб. Однако мы умеем копиями любого четырёхугольника (а тем более - ромба) покрывать плоскость без пробелов и наложений (см. задачу «Замощения»). Поэтому такими трубами всё пространство тоже легко заполняется.
«Круги в круге») и шаров в пространстве. Несмотря на то, что почти все формулировки звучат весьма естественно, подобные задачи довольно сложны, и в большинстве случаев они только ожидают своего решения.
С точки зрения других наук рассматриваемая задача интересна прежде всего, потому, что ответ на неё позволяет предсказать, каково строение кристаллов того или иного вещества, как различные атомы и молекулы соединяются для того, чтобы эти кристаллы образовать. Оказывается, кристаллы в большинстве своём устроены регулярно, что позволяет описать их единообразно при помощи дискретных подгрупп движений пространства. Связь кристаллов и подгрупп движений объясняется следующим образом: для каждой дискретной подгруппы движений пространства можно выделить наибольший связный кусок пространства, никакие две точки которого не могут быть друг в друга переведены каким-либо движением из этой подгруппы. Вообще говоря, таких кусков может быть много; любой из них называется фундаментальной областью подгруппы движений. В том случае, когда фундаментальная область ограничена, дискретная подгруппа движений называется кристаллографической . Это название и объясняет природу связи: молекулы и атомы регулярно устроенных кристаллов зачастую можно рассматривать как фундаментальную область некоторых кристаллографических групп движений.
Количество плоских кристаллографических групп равно 17. В трёхмерном пространстве имеется уже 219 кристаллографических групп. В пространстве размерности 4 количество групп ещё больше: 4783. Каждая такая группа порождает определённое разбиение плоскости или пространства на одинаковые кусочки. Например, разбиение плоскости на равные квадратики, стороны которых равны 1 (клетчатая бумага), порождается кристаллографической группой, состоящей из параллельных переносов на всевозможные векторы вида (m , n ), где m и n — целые числа, а также поворотов на углы π /4, π /2 и 3π /4 относительно центров и вершин квадратиков. Подобной кристаллографической группой порождается заполнение пространства кубами. Регулярному заполнению пространства тетраэдрами и октаэдрами также соответствует кристаллографическая группа — она состоит из всех таких движений, которые переводят заполнение само в себя. Однако ни октаэдр, ни тетраэдр не будут её фундаментальной областью.