Кинетическая энергия – скалярная физическая величина, характеризующая движущееся тело и равная для материальной точки половине произведения ее массы на квадрат ее скорости:
Единицей кинетической энергии в СИ является джоуль (Дж).
При скоростях, близких к скорости света, следует пользоваться иным определением кинетической энергии.
Кинетическая энергия протяженного тела равна сумме кинетических энергий его малых частей, которые можно считать материальными точками.
Используя второй закон Ньютона, можно доказать теорему об изменении кинетической энергии тела: в инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на это тело.
Если на прямолинейном участке траектории на тело, совершающее перемещение x , действуют две постоянные силыи, направленные под углами 1 и 2 к перемещению, то изменение кинетической энергии тела равно:
12. Механическая работа и мощность. Кпд.
Механическая работа A постоянной силына перемещение– это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силыF , модуля перемещенияs и косинуса угла между направлениями силы и перемещения.
А = Fs cos =F x s ,
где F x – проекция силы на направление перемещения (рис. 4).
Работа постоянной силы в зависимости от угла между векторами силы и перемещенияможет быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 5).
Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).
В общем случае действия переменной силы на криволинейном участке траектории расчет работы оказывается более сложным.
Мощность – скалярная физическая величина, равная отношению работы силыA к промежутку времениt , в течение которого она была произведена:
Мощность силы может измеряться во времени N (t )
Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).
При воздействии силы на тело, движущееся со скоростью(рис. 7), мощность этой силы равна:
N = F cos .
Часто термины работа и мощность относят к устройству, благодаря которому возникают силы, совершающие работу. Говорят о работе человека, мощности электродвигателя или двигателя автомобиля вместо работы и мощности силы натяжения веревки, с которой человек тянет сани, или работы и мощности внутренних сил или мощности сил сопротивления воздуха при движении автомобиля. В простейших случаях (подъемный кран поднимает груз) это вполне допустимо, однако в ряде случаев требует более аккуратного рассмотрения. Так, в случае движения автомобиля силой тяги является сила трения шин об асфальт, а ее работа равна нулю. В случае вертолета, зависшего над землей, сила тяги равна силе тяжести, мощность силы тяги равна нулю, однако энергия сгорающего топлива затрачивается на сообщение кинетической энергии потокам воздуха, отбрасываемого вниз.
При использовании простейших механизмов человек стремится совершить действия, которые не под силу выполнить «голыми руками» (поднять груз, сдвинуть тело и т.д.). Такие механизмы характеризуются физической величиной, называемой коэффициентом полезного действия (КПД). В механике обычно под КПД механизма понимают отношение полезной работы к затраченной.
Когда говорят о затраченной работе, то имеют в виду работу силы , которой человек воздействует на механизм. Если речь идет о полезной работе, то имеют в виду работу силы, приложенной к телу при его равномерном перемещении. Так, если человек поднимает груз с помощью системы блоков, перемещая конец веревки на длинуs 1 , а груз при этом перемещается (поднимается) на высоту s 2 под действием силы F 2 = mg , то КПД механизма, обозначаемый буквой , будет равен.
В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией
называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Пусть тело В
, движущееся со скоростью v
, начинает взаимодействовать с другим телом С
и при этом тормозится. Следовательно, тело В
действует на тело С
с некоторой силой F
и на элементарном участке пути ds
совершает работу
По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила -F , касательная составляющая которой -F τ вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона
Следовательно,
Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:
Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:
(3.7)
Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной (E k ≥ 0
).
Если система состоит из n
поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:
(3.8)
Из формулы (3.8) видно, что E k
зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m i
приобрело скорость ν i
. Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения
.
Скорости ν i
существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость ν i
i
-го тела системы, а, следовательно, его E ki
и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной
.
Потенциальная энергия
– это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n
= 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P
, поднятого на высоту h
, потенциальная энергия будет равна E n = Ph
(E n
= 0 при h
= 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2
, где Δl
- удлинение (сжатие) пружины, k
– ее коэффициент жесткости (E n
= 0 при l
= 0); для двух частиц с массами m 1
и m 2
, притягивающимися по закону всемирного тяготения, 
, где γ
– гравитационная постоянная, r
– расстояние между частицами (E n
= 0 при r
→ ∞).
Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m
, поднятого на высоту h
над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то
Где E no
– потенциальная энергия системы при h
= 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).
Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l
и с углом наклона α к вертикали (lcosα = h
), то работа сил тяготения равна прежней величине:
Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков Δl i . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна
На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:
Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.
Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
В свою очередь работа dA
выражается как скалярное произведение силы F
на перемещение dr
, поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:
(3.9)
Следовательно, если известна функция E n (r)
, то из выражения (3.9) можно найти силу F
по модулю и направлению.
Для консервативных сил
Или в векторном виде
где
(3.10)
Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П
; i, j, k
- единичные векторы координатных осей (орты).
Конкретный вид функции П
(в нашем случае E n
) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.
Полная механическая энергия W
системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:
Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.
Механическая энергия - одна из форм энергии; получившей такое название потому, что эта энергия проявляется при механическом движении и взаимодействии вещественных объектов. Вещественные объекты в механике моделируются с помощью систем материальных точек. Твёрдое тело - это система точек, взаимное расположение которых сохраняется неизменным.
Энергия движения точек (тел) называется кинетической энергией (обозначается буквой Т) .
Энергия взаимодействия точек (тел) называется потенциальной энергией (обозначается буквой П ). Сам термин «потенциальная» означает возможность движения тел в результате обладания этой энергией.
При движении точки (или центра масс тела) кинетическая энергия равна:
где m - масса точки (тела);
- скорость точки (или центра масс тела).
Примечание. При поступательном движении тело рассматривается как материальная точка, помещённая в центре масс.
Если тело вращается, кинетическая энергия вычисляется по формуле:
Т=J 2 , (2)
где J - момент инерции тела относительно оси вращения;
- угловая скорость тела.
Примечание. Для более сложных типов движения тел (плоское, свободное), кинетическая энергия равна сумме энергии центра масс и вращения вокруг оси, проходящей (условно) через центр масс.
Потенциальная энергия определяется видом взаимодействия. Если изучаемые точки (тела) электронейтральны, тогда для исследований вблизи поверхности Земли надо учитывать только гравитационное взаимодействие с Землей, которое зависит от расстояния до центра земного шара.
В Приложении (см.) показано, что до высот над поверхностью Земли Н <10 км потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точки (тела), имеющей массу m , с достаточной точностью определяется приближённой формулой:
- mgR o + mgH , (3)
где m - масса исследуемой точки (тела);
g- ускорение силы тяготения;
R o - радиус Земли;
Н - высота подъёма точки (или центра масс тела) над поверхностью Земли.
Для практических расчётов формулу (3) используют в изменённом виде, т.к. в любых исследованиях требуется знать только разность потенциальных энергий для различных высот Н 2 и Н 1 над поверхностью Земли. Поэтому энергию на нижнем уровне обычно принимают равной нулю, и от этого уровня отсчитывают высоту подъёма h=H 2 - H 1 , где Н 1 - высота нижнего уровня над поверхностью Земли, которую не требуется находить, т.к. она не входит в расчёты. В итоге получается формула гравитационной потенциальной энергии в виде:
= mgh (4)
Точность расчёта по формуле (4) увеличивается с уменьшением высоты над поверхностью Земли.
Формулы для потенциальной энергии в механике выводятся посредством расчёта работы, которую совершают силы при переходе точки (тела) из одного места пространства в другое (см. Приложение).
Работой силы называется физическая величина, являющаяся мерой действия силы по изменению и преобразованию разных форм энергии и равная скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения точки её приложения.
Элементарная работа dA силы F равна:
dA
= (
)
,
(5)
где
- элементарное перемещение точки
приложения силы.
При вращательном движении тела работа определяется моментом силы, приводящим тело во вращение:
dA = M p d , (6)
где М р - момент силы относительно оси вращения;
d - элементарный угол поворота тела.
Интегрирование формул (5) и (6) позволяет находить работу силы на конечных перемещениях и углах поворота. Единицей измерения работы (как и энергии) является - Джоуль [Дж].
Понятие работы силы позволяет раскрыть замечательные свойства сил. Оказывается, все силы следует разделить на два вида: потенциальные (консервативные) и непотенциальные (неконсервативные) силы. Потенциальными в механике называются три силы: гравитационную, электрическую и упругой деформации. К непотенциальным относятся силы трения и сопротивления.
Замечательным свойством потенциальных сил является то, что при действии таких сил кинетическая энергия может быть преобразована только в потенциальную энергию (и наоборот). При этом работа силы точно равна изменению кинетической энергии.
При действии непотенциальных сил кинетическая и потенциальная энергия преобразуются (полностью или частично) в другие формы: например, внутреннюю энергию и энергию излучения.
Сумма кинетической и потенциальной энергии системы точек (тел) называется механической энергией.
Е = Т+П (7)
Для механической энергии установлен закон сохранения, который формулируется следующим образом: механическая энергия системы сохраняется, если работу на перемещении точек (тел) системы выполняют внешние и внутренние потенциальные силы, либо - если эта система изолирована и в ней действуют только потенциальные силы.
Отметим, что условие изолированности - это условие общефизического закона сохранения энергии. Однако для механической энергии существует еще одно условие сохранения, требующее выполнения работы только потенциальными силами, в том числе - внешними, учёт этого условия позволил решить ряд важнейших задач физики, например, рассчитать траектории небесных тел (законы Кеплера) и траектории заряженных частиц (формулы Резерфорда).
Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих друг с другом тел.
Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения. Скалярным произведением двух векторов называется скаляр равный произведению модулей этих векторов и косинус угла между ними.
Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом.
Кинетическая энергия частицы
Приняв во внимание, что произведение mV равно модулю импульса частицы р, выражению (4) можно придать вид
Если сила F , действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение
где ds - перемещение частицы за время dt.
Величина
называется работой , совершаемой силой F на пути ds (ds - модуль перемещения ds ).
Из (5) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу
Если dA = Fds, а, то
Проинтегрируем обе части равенства (6) вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2:
Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:
Правая часть есть работа А12 силы F на пути 1-2:
Таким образом, мы пришли к соотношению
из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.
Консервативные силы
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, называются консервативными.
Легко показать, что работа сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:
Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на -ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что. Произведя замену в (8), получим, что
Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
Потенциальная энергия
Эта энергия определяется положением тела (высотой на которое оно поднято). Поэтому она называется энергией положения. Чаще ее называют потенциальной энергией.
где h отсчитывается от произвольного уровня.
В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной.
Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа
A12 = Ep1-Ep2 . (9)
В соответствии с формулой (7) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приняв оба выражения для работы, получим соотношение, из которого следует, что
Величина E, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (10) означает, что E1=E2, т.е. что полная энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил. Остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающимся изменением конфигурации системы.
Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:
где определяется формулой (9).
Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:
где - потенциальная энергия системы во внешнем поле сил.
Работу неконсервативных сил обозначим.
Согласно формуле (7) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Ek, которая равна сумме кинетических энергий частиц:
Следовательно,
Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:
Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы E:
Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:
Из (11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:
Мы пришли к закону сохранения механической энергии , который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.
Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит только два слагаемых: (- взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
Взгляните: катящийся по дорожке шар сбивает кегли, и они разлетаются по сторонам. Только что выключенный вентилятор ещё некоторое время продолжает вращаться, создавая поток воздуха. Обладают ли эти тела энергией?
Заметим: шар и вентилятор совершают механическую работу, значит, обладают энергией. Они обладают энергией потому, что движутся. Энергию движущихся тел в физике называют кинетической энергией (от греч. «кинема» – движение).
Кинетическая энергия зависит от массы тела и скорости его движения (перемещения в пространстве или вращения). Например, чем больше масса шара, тем больше энергии он передаст кеглям при ударе, тем дальше они разлетятся. Например, чем больше скорость вращения лопастей, тем дальше вентилятор переместит поток воздуха.
Кинетическая энергия одного и того же тела может быть различной с точек зрения различных наблюдателей. Например, с нашей точки зрения как читателей этой книги, кинетическая энергия пня на дороге равна нулю, так как пень не движется. Однако по отношению к велосипедисту пень обладает кинетической энергией, поскольку стремительно приближается, и при столкновении совершит очень неприятную механическую работу – погнёт детали велосипеда.
Энергию, которой тела или части одного тела обладают потому, что взаимодействуют с другими телами (или частями тела), в физике называют потенциальной энергией (от лат. «потенциа» – сила).
Обратимся к рисунку. При всплытии мяч может совершить механическую работу, например, вытолкнуть нашу ладонь из воды на поверхность. Расположенная на некоторой высоте гиря может совершить работу – расколоть орех. Натянутая тетива лука может вытолкнуть стрелу. Следовательно, рассмотренные тела обладают потенциальной энергией, так как взаимодействуют с другими телами (или частями тела). Например, мяч взаимодействует с водой – архимедова сила выталкивает его на поверхность. Гиря взаимодействует с Землёй – сила тяжести тянет гирю вниз. Тетива взаимодействует с другими частями лука – её натягивает сила упругости изогнутого древка лука.
Потенциальная энергия тела зависит от силы взаимодействия тел (или частей тела) и расстояния между ними. Например, чем больше архимедова сила и глубже мяч погружён в воду, чем больше сила тяжести и дальше гиря от Земли, чем больше сила упругости и дальше оттянута тетива, – тем больше потенциальные энергии тел: мяча, гири, лука (соответственно).
Потенциальная энергия одного и того же тела может быть различной по отношению к различным телам. Взгляните на рисунок. При падении гири на каждый из орехов обнаружится, что осколки второго ореха разлетятся намного дальше, чем осколки первого. Следовательно, по отношению к ореху 1 гиря обладает меньшей потенциальной энергией, чем по отношению к ореху 2. Важно: в отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия не зависит от положения и движения наблюдателя, а зависит от выбора нами «нулевого уровня» энергии.